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Cambio de signo en inecuaciones



Hay dudas habituales en matemáticas sobre las que vale le pena escribir en este blog, aunque parezcan temas muy básicos de los que tratar. Al igual que ha sido un éxito la entrada sobre promedio de promedios, lo que me indican las preguntas de mis estudiantes en clase es que es necesario aclarar una duda habitual: cómo proceder con las inecuaciones. En particular, el problema parece estar en que no recuerdan qué hacer en las inecuaciones cuando hay que cambiar un signo.

Esta será, por lo tanto, una entrada muy sencilla sobre matemáticas básicas, pero espero que ayude a todo el que esté buscando en internet información sobre esta cuestión. Vamos allá con la explicación y algunos ejemplos.

Resolver una inecuación es buscar el valor (o valores) de la (o las) variables que hacen que siempre se cumpla la desigualdad. Por lo tanto, es igual que en una ecuación, solo que en vez de igualdad vamos a tener una desigualdad del tipo <, >, ≤, ó ≥ .

La manera de despejar las variables es igual que en una ecuación: para pasar al otro miembro de la inecuación cambiamos de signo o, si el número está multiplicando, lo pasamos dividiendo (y viceversa). La única diferencia está en que, si multiplicamos por un número negativo, debemos cambiar el signo de la desigualdad.

EJEMPLO 1

5x > -3

Si multiplico a ambos lados por -2, debo cambiar el signo de la desigualdad, que pasa de ser > a ser <

-10x < 6

Despejando la x obtengo: x < -6/10

 

EJEMPLO 2

5-x ≤ 12 ; -x ≤ 12-5 ; -x ≤ 7 ; x ≥ -7 , es decir, las x toman valores entre -7 (incluyéndolo) e infinito, esto es: [–7, +∞)

 

EJEMPO 3

 

7(3-x) ≥ 5 ; 3-x ≥ 5/7 ; -x ≥ 5/7 – 3 ; -x ≥ -16/7 ; Multiplico a ambos lados por -1 para cambiar de signo: x ≤ 16/7 , es decir, las x toman valores entre –infinito y 16/7 , esto es: (–∞, 16/7]

Espero que con estos tres ejemplos puedan practicar y resolver esta duda habitual.

 

 


Beneficio negativo

Llevo dos cursos impartiendo una asignatura llamada Matemáticas Empresariales. Es una asignatura de primer curso que comparten algunos grados universitarios relacionados con el mundo empresarial. En general todo transcurre como es habitual, es decir, quien atiende y trabaja supera bien la asignatura, y quien pasa olímpicamente suspende (porque no creo que estos últimos tengan menos capacidad que el resto de sus compañeros). El caso es que, independientemente de los buenos resultados de un estudiante en esta asignatura, he descubierto que casi todos tienen una cosa en común: ni se les pasa por la cabeza considerar que un beneficio puede dar un resultado negativo.

El cálculo de la función beneficio es un ejercicio típico. Damos una función precio (o dos, según estemos en problemas de funciones reales de una o dos variables reales), y de ahí calculan la función ingresos, pues los ingresos son el producto del precio por la cantidad de unidades vendidas. Damos también una función costes. El beneficio deben calcularlo como la diferencia entre los ingresos y los costes. Fácil, B(x,y) = I(x,y) – C(x,y)  si estamos con funciones reales de dos variables reales, o B(x) = I(x) – C(x) en el caso de funciones reales con una variable real.  A x e y llámalas como quieras (normalmente son cantidades q).

Pues bien, si ponemos valores a las variables x e y, es posible que ese valor de B sea negativo. ¿Por qué no? Puede dar tanto un valor negativo, como cero, como un valor positivo. Es económicamente posible. Un beneficio negativo significa básicamente que no ganas, lo cual es posible. Pero resulta que la mayoría de mis alumnos, y no será porque no se los haya explicado tropecientasmil veces, creen que el beneficio no puede ser negativo porque, oh Dios mío, las pérdidas no pueden existir. Hasta los alumnos más brillantes cometen a veces este error. Lo explican en la hoja de problemas o en el examen. En el mundo de algodón de azucar y piruleta en el que han sido criados los millenials, las pérdidas no existen. Siempre tienen que ganar, y si el resultado les parece que no les beneficia cierran los ojos y dicen que ese resultado no es posible.

Señores y señoras, despierten. Este mundo no es un escenario en el que todo sale bien y siempre ganas en los negocios. Los beneficios pueden ser negativos. Si tras sustituir valores en la función les sale que B es menor que cero, no está mal. Es económicamente posible, aunque lógicamente no es lo que busca el empresario.

Cuánto daño está haciendo la cultura del «todo va a salir bien si lo deseas».