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Integrales definidas con Wolfram Alpha
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Hace unos 5 años descubrí la web Wolfram Alpha gracias a una compañera de trabajo en la universidad. Ella lo utilizaba para plantear algunas actividades evaluables a sus estudiantes. A mí Wolfram Alpha me gusta más como una herramienta para simplemente comprobar que los cálculos están bien hechos, más que para hacerlos directamente con ella. Wolfram Alpha tiene una web interesantísima, con muchísimos recursos. Con este post voy a empezar una serie en la que enseño a usarla. Comenzaremos viendo cómo calcular integrales definidas.

Cómo hacer integrales definidas con Wolfram Alpha

Lo primero, por supuesto, es entrar en la web de Wolfram Alpha. Allí encontrarás muchas cosas, pero lo principal es justo lo que está arriba, el sitio donde se puede escribir lo que quieres hacer. Es este.

integral definida wolfram alpha

En ese rectángulo amarillo es donde debes escribir lo que quieres que Wolfram Alpha calcule. En este caso, vamos a introducir el comando para calcular la siguiente integral definida:

Integral definida

Para calcular este integral, en el recuadro de arriba hay que escribir lo siguiente: integrate(x^2+2) from -2 to 5

Fíjate en la notación. Está en inglés, y con ese comando le estamos diciendo que queremos integrar (en inglés integrate) la función y=x2+2 (que se escribe x^2+2) desde -2 hasta 5 (en inglés from -2 to 5).

Integral definida wolfram alpha

Una vez escrito ese comando, tras pulsar la tecla «enter» saldrá el resultado en pantalla.

solución integral definida

Como ves en la figura de arriba, la web calcula el resultado, representa la gráfica (el resultado de la integral es el área bajo la curva entre -2 y 5), e incluso te da el resultado de la integral indefinida de la función (en este caso la función x2+2)

Wolfram Alpha te ha dado mucha información, porque como sabes, para calcular una integran definida primero tienes que calcularla como si fuera indefinida (y ese cálculo es el último que te muestra la imagen de arriba), y luego aplicar la regla de Barrow en este caso entre los valores -2 y 5. El resultado de esto último es lo que te da ese número, 175/3, que ves arriba.

Hemos hecho el ejemplo con una función muy sencilla, pero puedes introducir en la integral la función que quieras y se calculará. Eso sí, si el cálculo lleva mucho tiempo a Wolfram Alpha, te saldrá un mensaje diciendo que el tiempo de cálculo estándar ha sido superado y que, o lo intentes otra vez, o te pases a la versión de pago. En general no suele ocurrir esto para cálculos a nivel bachillerato y primeros cursos de universidad.

Wolfram Alpha tiene una versión de pago que te permite desbloquear muchas cosas, como por ejemplo poder ver paso a paso la solución de los cálculos, pero para lo que te propongo aquí (comprobar si tus cálculos son correctos) no es necesaria.




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Cómo calcular la integral de seno por coseno fácil
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Cuando los estudiantes de matemáticas de bachillerato o primer curso de universidad hacen integrales, una de las que típicamente les resultan difíciles es la integral de sen(x)*cos(x).

Integración por partes

La integral de sen(x)*cos(x) es una de esas integrales que puedes resolver con el método de integración por partes. No es difícil comenzar a resolverla, pero el problema es que llega un momento en que te encuentras con la misma integral, y entonces a partir de ahí los estudiantes no saben seguir. Vamos a explicar aquí cómo hacer la integral de seno por coseno de x paso a paso.

Lo primero es plantear quién es u y quién es dv en la integración por partes. Bajo la integral que estamos intentando resolver, pongo la famosa forma de resolverla. Elegimos en este caso que u=sen(x) y dv=cos(x). Si esta es la elección, du (derivada de u respecto de x) tiene que ser cos(x)*dx y v (integral de dv) tiene que ser sen(x).

integral seno por coseno

Ahora sustituimos u, v, du y dv en la fórmula, y queda:

integral seno por coseno

Lo que decía antes: nos ha quedado otra vez una integral sen(x)*cos(x). ¿Qué hacemos? ¿Volvemos a hacer esa integral otra vez por partes? No, porque vamos a llegar a lo mismo, una y otra vez una integral sen(x)*cos(x).

Entonces, ¿qué hacemos? Pues la solución es más sencilla de lo que parece: vamos a agrupar las integrales a un lado de la igualdad y dejar al otro lado el seno cuadrado de x. Es decir, vamos a despejar seno cuadrado de x, pasamos también el 2 al otro lado dividiendo, y listo, ya lo tenemos. No olvides añadir el +C al final, porque estamos haciendo una integral indefinida y tiene infinitas soluciones.

Vale Silvia, pero resulta que yo elegí que u no sea sen(x) sino que u=cos(x), y cuando la hago igual que tú me sale una solución distinta. Venga, ¿lo probamos?

La solución es diferente, porque ya no tenemos un seno cuadrado, sino un coseno cuadrado, y además hay un signo menos. Entonces, ¿qué significa esto? ¿Cómo puede tener una integral dos soluciones distintas?

En realidad las dos soluciones no son diferentes.

Integral seno por coseno

Como puedes ver en la imagen de arriba, si derivamos cualquiera de las dos soluciones, nos da la función primitiva, es decir, la que estábamos intentando integrar, sen(x)*cos(x)


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Cómo descargar tus vídeos de Twitch fácil y rápido
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Tienes un canal de Twitch y quieres aprovechar los vídeos para subirlos a Youtube, ¿verdad? Si no estás grabando en un fichero de vídeo en tu ordenador mientras haces el streaming, aquí te voy a dar una solución para poder descargar los vídeos desde la página de Twitch. Va a ser muy sencillo y rápido.

Cómo descargar un vídeo de Twitch

Lo primero que tienes que hacer es asegurar que tienes habilitada la opción «guardar emisiones anteriores». Para ello, debes hacer click en el icono de tu cuenta de usuario (esquina superior derecha), en el menú desplegable haces click en «ajustes de la cuenta» y te vas a la pestaña «Canal y vídeos». Es ahí donde encontrarás esta opción, que tienes que tener habilitada. Si no la tenías habilitada de antes, de momento no vas a poder descargar ningún vídeo. Si la tenías, felicidades, ya puedes descargar vídeos de Twitch fácil y rápido.

Cómo bajar un vídeo de Twitch

Ahora tienes que volver al icono de tu usuario, en la parte superior derecha de la pantalla, pulsar en «canal» y volver al icono de usuario para seleccionar «Estudio de vídeo». Ahí te saldrán todos los vídeos que se han grabado, que permanecen ahí durante 14 días.

Cómo bajar un vídeo de Twitch

En cualquiera de los vídeos, pulsando sobre los tres puntos verticales que están a la derecha, se despliega un menú. Ahí encontrarás la opción de «Descargar», la cual hará que puedas descargar el vídeo de Twitch a tu ordenador en formato .mp4. También encontrarás otras opciones muy interesantes, como por ejemplo «Editar», que te permite cambiar la información del vídeo (título, descripción, etiquetas o idioma).

Cómo editar un vídeo de Twitch

Si no quieres bajar todo el vídeo, sino una parte del mismo, puedes hacer lo siguiente: a la derecha del vídeo, pulsa el botón «Destacar». Se te abrirá algo así como un editor de vídeo online. En la parte inferior de la pantalla puedes seleccionar la parte del vídeo con la que te quieres quedar. Cuando termines de hacerlo, pulsa el botón «Publicar destacados». Ahora te saldrá un nuevo vídeo en el listado del canal, que podrás descargar usando la técnica que expliqué antes, y si quieres luego puedes borrarlo.

Y eso es todo. Ahora ya sabes cómo bajar tus vídeos de Twitch de una manera fácil y rápida, para luego poder subirlos (por ejemplo) a Youtube. Espero que esta información te sea útil.




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Astronomy Tools, una herramienta web para tus noches de telescopio
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¿De qué tamaño se verá esta nebulosa, o esta galaxia, si la miro a través de este ocular con mi telescopio? ¿Y si uso este otro ocular? ¿Qué campo de visión tendría en cada caso? ¿Esto que estoy observando es realmente lo que quería ver, o me he equivocado de objeto? Son muchas las preguntas que nos pueden surgir cuando estamos observando el cielo con nuestro telescopio de aficionado. Para responder a esta y otras muchas otras preguntas, yo utilizo la herramienta web Astronomy Tools (astronomy.tools)

Astronomy Tools es una página web en la que encontrarás mucha ayuda no solo para responder a estas preguntas a pie de telescopio (en ese caso yo la uso en mi teléfono móvil), sino también para planificar observaciones. Entre otras cosas, tiene calculadoras para longitudes focales a partir de apertura y relación focal, o al contrario (cálculo de relación focal a partir de apertura y longitud focal), calculadora de aumentos según sea la longitud focal de tu telescopio y las características de tu ocular, etc. Son cálculos sencillos, pero que con esta web ser pueden hacer más rápidamente. Astronomy Tools también te permite crear una carta estelar del cielo para una fecha y una localización dada, e incluso te muestra una predicción sobre la cobertura de nubes en tu sitio de observación.

De todas las opciones que tiene Astronomy Tools, a mí la que más me gusta es la que muestra cómo debería verse un objeto (por ejemplo, un objeto del catáligo Messier) a través del ocular que tenga puesto en mi telescopio. En la pantalla de opciones veríamos algo así:

Astronomy Tools

Tienes un listado de muchas de las marcas y modelos de telescopios más vendidos, con lo que muchas veces no es necesario estar escribiendo continuamente la longitud focal, apertura, etc. En mi caso, mi telescopio no estaba, pero usé la opción «Add new equipment to database» (el botón naranja), indiqué los datos y al día siguiente ya estaba disponible para todo el mundo en el menú desplegable «Telescope».

En la imagen de arriba se pueden ver los datos de mi pequeño telescopio, y he indicado que quiero ver la galaxia Andrómeda (M31) con un ocular de 25 mm. ¿Qué aspecto tendría la galaxia a través del ocular? Si hago click en el botón «Add to view» podrá comprobarlo. Este es el resultado:

Astronomy Tools

El círculo rojo delimita lo que podría ver a través de mi ocular. Como puedes comprobar, no podría ver toda la galaxia con este ocular, así que tendría que cambiar a otro que me proporcione un campo de visión (en inglés, FOV) mayor para poder abarcarla toda en un solo vistazo.

Hay un modo en el que puedes ver cómo saldría el objeto al hacerle una fotografía, y para ello por supuesto debes introducir los datos de tu CCD o chip de tu cámara DSRL (resolución, tamaño del pixel, etc.). Y hay más: si lo que te gusta (o es tu única opción de momento) es observar el cielo con prismáticos, también puedes calcular con Astronomy Tools cómo verías los objetos a través de tus prismáticos.

Como ves, una web muy útil para cualquier aficionado a la astronomía. Si como a mí te gusta apuntar la vista al cielo (ya sea con telescopio, con prismáticos o con una cámara), espero que disfrutes de esta web.


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Cursos gratis durante la crisis del coronavirus
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A lo largo de los días que llevamos confinados en casa por la crisis del coronavirus Covid-19, una larga lista de instituciones académicas ha decidido compartir de manera gratuita tanto material de consulta como cursos. En algunas de las mas prestigiosas plataformas de enseñanza online se ofrecen, durante un tiempo limitado, cursos gratis que anteriormente eran de pago. Por ejemplo, en Coursera ofrecen 85 cursos gratis (con certificado gratis incluido) hasta el 31 de julio, en FutureLearn más de 60 (hasta el 30 de junio), y en universidades como Harvard, Stanford o el Imperial College, por poner solo unos ejemplos, también están ofreciendo interesantísimos cursos gratis.

Esta es una muy buena oportunidad para aprovechar el tiempo en conseguir alguna de estas certificaciones. Mejor eso que perderlo en las redes sociales, desde luego.

Cursos gratis

Para tener un listado actualizado de cursos gratis durante esta crisis del coronavirus, te recomiendo esta página: https://www.classcentral.com/report/free-online-learning-coronavirus/

Yo de momento he hecho tres cursos en FutureLearn, dos de ellos sobre enseñanza online y uno sobre inteligencia artificial. Espero que en el listado del anterior enlace encuentres cursos de tu interés. Que este confinamiento sirva, además de para protegernos a todos, también para mejorar nuestros currículums y aprender.


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Relación entre el 5G y el coronavirus
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Hace unas semanas comenzó a circular por internet un rumor acerca de la relación entre el despliegue de la tecnología 5G para los teléfonos móviles y la expansión del coronavirus. Se supone que este rumor surgió tras hacerse viral un vídeo de un supuesto doctor en medicina llamado Thomas Cowan, que relacionaba la expansión de las antenas 5G conla incidencia de casos positivos de coronavirus Covid-19.

¿Cómo de fiable es Thomas Cowan? Bueno, es un señor que escribe libros cuyos títulos incluyen «Corazón Cósmico» en el título, que tratan sobre supuestos nuevos tratamientos de medicina integrativa, alternativa, para curar el cáncer, o que insisten en la ya vieja cantinela antivacunas de que las vacunas han aumentado, entre otros, los casos de autismo. Solo con comprobar esto (basta una búsqueda de su nombre en Google) ya puedo estar segura de que esta persona (o personaje, quién sabe), que cuenta con página web donde se anuncia como médico holístico y vende otros productos además de sus libros, no es de fiar.

Todavía así, el rumor se ha extendido, y se habla de que en algunas zonas de Reino Unido incluso se han registrado ataques a antenas de 5G. Pues bien, esta relación entre el 5G y el coronavirus no tienen ningún sentido. No tienen ningún fundamento científico, y no hace falta más que tener un nivel de apenas bachillerato, o menor, para saberlo. Quienes creen en la correlación entre las «malignas» radiaciones del 5G (que por supuesto, no hacen ningún daño, y de radiaciones ya hemos hablado bastante en este blog) y un virus, directamente es que no tienen ni lo más mínimos conocimientos científicos que se le asumen hasta a un niño.

Antena 5G

Hay muchos desmentidos sobre este asunto en la red. La conocida web Maldita.es lo hizo aquí, y también han escrito sobre este bulo muchos periódicos. La razón más evidente para que no haya relación alguna entre la radiación asociada al 5G y el coronavirus es la diferencia de longitud entre las ondas del 5G (que puede superar los milímetros) y el tamaño del virus (0,0001 milímetros).

También hay por ahí circulando algún mapa en el que se apoyan los que dicen que hay correlación entre el 5G y el coronavirus, ya que en las zonas donde más expandido está el 5G, dicen ellos, es precisamente donde más extendido está el contagio del coronavirus. Qué sorprendente, en las zonas tecnológicamente más avanzadas, que es donde más personas viven, es donde más casos de coronavirus hay (pretends to be shocked). A los que están usando estos mapas hay que recordarles que correlación no implica causalidad. Si no entienden lo que esto significa, que estudien un mínimo de estadística, muy básica.


La teoría conspiranoica sobre la relación entre el 5G y el coronavirus es peligrosa, porque si empiezan a destrozar antenas por esta razón vamos a tener un problema. Las comunicaciones son importantes, pero en esta situación de alerta sanitaria y confinamiento lo son más que nunca. Por favor, no caigan en estos engaños. La relación entre el 5G y el coronavirus es simplemente ninguna.


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Cometa C/2017 T2 (PANSTARRS)
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Siempre me han fascinado los llamados cuerpos menores, es decir, cometas y asteroides. Ya hace muchos años, mientras era estudiante de astrofísica, coordinaba a un equipo de astrónomos aficionados de toda España para la observación de este tipo de objetos desde sus observatorios caseros. ¿Cómo iba a resistirme entonces a apuntar mi pequeño telescopio a uno de los cometas visibles en el inicio del año 2020?

La noche del 2 de enero de 2020 empecé este extraño año (cuando escribo estas líneas estamos en plena crisis por el coronavirus Covid-19) con la observación del cometa C/2017 T1 (PANSTARRS). No estaba segura de que pudiera verlo con mi pequeñísimo telescopio, en una zona absolutamente tomada por las luces de decoración navideña. Todavía así, me atreví a buscarlo. Como este objeto no está disponible en la librería de objetos del ordenador de mi montura, busqué sus coordenadas AR y Dec y las introduje manualmente en el ordenador. Me llevó a una zona del cielo donde no veía nada a simple vista, pero la cámara Canon 2000 D colocada en foco primario del telescopio sí que captó algo.

Este es el resultado de sumar 10 imágenes, con un tiempo de exposición total de 200 segundo. El telescopio es un pequeño Maksutov-Cassegrain 102 mm/1300 mm.

cometa c/2017 T2 PANSTARRS
Picture saved with settings embedded.

Quedé muy contenta con esta imagen, aunque hubiese quedado mejor sumando más imágenes. En todo caso, se puede ver la coma o cabellera (la cabeza del cometa, alrededor de su núcleo) y se intuye parte de su cola.

Ahora solo queda esperar a que termine el confinamiento por el coronavirus para poder subir a la azotea y buscar otros cometas que ya son visibles.


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Luna en cuarto creciente
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El viernes 3 de enero de 2020 la luna estaba en su fase cuarto creciente, con una iluminación del 51.3% Era un buen momento para probar a hacer fotografías a foco primario.

luna en cuarto creciente

Observar el limbo lunar, es decir, el borde en el que ya no hay iluminación, te permite ver los cráteres que se encuentren en esa zona con un efecto 3D debido al juego de luces y sombras.

En esta imagen podemos ver algunos de los grandes mares (las zonas más gris oscuro), como Mare Crisium, Mare Fecunditatis, Mare Tranquilitatis, o Mare Nectaris, y también muchos cráteres.

Próximo desafío: hacer una composición de imágenes de la luna sumando muchas de ellas, por ejemplo, usando imágenes extraídas de un vídeo. Así podría conseguir una mejor calidad en el resultado final.


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Astrofotografía M31 afocal vs M31 foco primario
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Uno de los típicos objetivos cuando tienes un telescopio pequeño es la galaxia Andrómeda, o lo que es lo mismo, M31 en el catálogo Messier. Esta galaxia en realidad se puede ver a simple vista si cuentas con buenas condiciones en cuanto a contaminación lumínica. De hecho, se dice que es el objeto más lejano que se puede ver a simple vista.

La galaxia Andrómeda se encuentra a 2,5 años luz de distancia de nosotros, y es una galaxia espiral. Esta galaxia es parte del grupo local de galaxias, donde nos encontramos nosotros mismos.

Desde que el astrónomo persa Azophi la observó por primera vez en el año 961, ha sido ampliamente estudiada y observada por todos astrónomo aficionado que se precie, ya que es un blanco muy fácil para ver y fotografiar. Y como es un blanco tan fácil, yo también he apuntado mi pequeño telescopio hacia esta galaxia. Aquí veremos la diferencia entre fotografiarla con método afocal (cámara detrás del objetivo) y a foco primario, con un telescopio pequeño (Maksutov-Cassegrain 102 mm / 1300 mm) desde un lugar con bastante contaminación lumíninica.

Esta es la fotografía hecha con método afocal, usando una pequeña cámara compacta Sony detrás del ocular del telescopio. La fotografía la hice el sábado 29 de octubre de 2019. Es una muestra de que con un telescopio pequeño, incluso con técnica afocal, sin un buen seguimiento, con lo que el tiempo de exposición es pequeño, se puede captar la imagen de esta galaxia. No es la imagen a la que estamos acostumbrados, con sus brazos espirales bien definidos, pero algo es algo.

Galaxia M31 con técnica afocal

Y aquí la fotografía de la misma galaxia pero hecha a foco primario. La hice el 26 de diciembre de 2019 y es la suma de 14 fotografías hechas con una cámara Canon 2000 D.



El tiempo de exposición total es de solo 4,6 minutos. Como mi telescopio no tiene montura ecuatorial, los tiempos de exposición de cada foto tienen que ser pequeños. De nuevo, no es la imagen típica de la galaxia Andrómeda, porque tiene poco tiempo de exposición y está hecha con un equipo muy pequeño, pero la diferencia con la anterior creo que es notable. El objeto que se ve cerca de la esquina superior izquierda es una galaxia satélite a la de Andrómeda, M32. Esta galaxia, M32, también es una galaxia elíptica, uno de los pocos casos de galaxia elíptica enana compacta.

Galaxia M31 a foto primario

Seguramente podría haber conseguido un mejor resultado con esta última imagen si el tratamiento de post-procesado hubiera sido mejor, pero estoy aprendiendo a hacerlo. En todo caso, me doy por satisfecha con esta fotografía, la primera de espero muchas a foco primario desde mi modestísimo telescopio.


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La otra curva del coronavirus
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Desgraciadamente estamos viviendo una situación sin precedentes por la crisis del coronavirus Covid-19, situación que se ve reflejada en la cantidad de búsquedas que los usuarios de Google hemos hecho sobre este tema. Estas son las otras (más amables, desde luego) curvas del coronavirus: las series temporales que muestran cómo evoluciona el interés, en escala de 0 a 100, de las búsquedas del término «coronavirus» en el principal buscador de internet. Son datos extraídos de Google Trends.

Búsquedas de la palabra «coronavirus» a nivel mundial
Búsquedas de la palabra «coronavirus» en España.
Búsquedas de imágenes sobre el coronavirus, a nivel mundial.
Búsqueda de noticias sobre el coronavirus, a nivel mundial.
Búsqueda de la palabra «coronavirus» en Google Shopping, a nivel mundial.

Como puede apreciarse, hay varios picos muy identificables en fechas de esta crisis sanitaria por el Covid-19, entre el 26 de enero y el 1 de febrero, del 23 al 29 de febrero, y el pico más alto entre el 15 y el 21 de marzo, todos de 2020. Si miramos las búsquedas en web del término «coronavirus» solo atendiendo a las realizadas desde España, las fechas del máximo de búsquedas se desplazan respecto a las que encontramos en la totalidad del mundo, ocurriendo este máximo de búsquedas en España entre el 8 y el 14 de marzo de 2020, cuando la crisis comienza a tomar más importancia en este país.

Ojalá la curva más importante, la de contagios y fallecimientos, descienda mucho más rápido que estas aquí mostradas. Ánimo a todos, que ya queda un día menos de confinamiento.


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